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Die Kraft der mathematischen Visualisierung

JAHR: 2016 | LÄNGE: 24 Teile (~Jeweils 30 Minuten) | QUELLE: TGC

Beschreibung:

Viele Leute glauben, dass sie einfach nicht gut in Mathematik sind – dass ihr Gehirn nicht darauf ausgelegt ist, mathematisch zu denken. Aber so wie es mehrere Wege gibt, die Geistes- und Geisteswissenschaften zu meistern, gibt es auch alternative Ansätze zum Verständnis der Mathematik. Eine der mit Abstand effektivsten Methoden ist die Visualisierung. Wenn ein Bild tausend Worte sagt, kann ein Bild in der Mathematik tausend Ideen hervorbringen.

Folgen:

Professor Tanton erinnert sich an sein Elternhaus, in dem das Muster auf den Deckenplatten seine Karriere in der Mathematik inspirierte. Er lüftet das Geheimnis dieser Kacheln und demonstriert die Kraft des visuellen Denkens. Dann zeigt er, wie ähnliche Muster den Schlüssel zu erstaunlichen Leistungen der mentalen Berechnung darstellen.

Negative Zahlen sind oft verwirrend, insbesondere negative Ausdrücke in Klammern bei Algebraproblemen. Entdecken Sie ein einfaches visuelles Modell, mit dem Sie leicht verfolgen können, was negativ ist und was nicht. So können Sie lange Reihen von Negativen und Positiven in Hülle und Fülle angehen.

Wortprobleme. Trifft dieser Satz Angst in dein Herz? Entspannen Sie sich mit den Tipps von Professor Tanton zum Durchschneiden der verwirrenden Details zu Gruppen und Objekten, insbesondere wenn es um Verhältnisse und Proportionen geht. Zu Ihren handlichen visuellen Geräten gehören Blöcke, Papierstreifen und Pokerchips.

Betrachten Sie die Seltsamkeit des Langmultiplikationsalgorithmus, den die meisten von uns in der Schule gelernt haben. Entdecken Sie eine völlig neue Art der Multiplikation, die grafisch und ebenso seltsam ist! Analysieren Sie dann, wie diese beiden Systeme funktionieren. Lösen Sie schließlich das Rätsel, warum negative Zeiten immer negativ sind.

Merken Sie sich nie wieder eine Flächenformel, nachdem Sie diese einfachen visuellen Beweise für die Berechnung von Flächen aus Rechtecken, Parallelogrammen, Dreiecken, Polygonen im Allgemeinen und Kreisen gesehen haben. Beweisen Sie dann, dass Sie für zwei Polygone desselben Bereichs eines in Stücke zerlegen können, die neu angeordnet werden können, um das andere zu bilden.

Untersuchen Sie das Rechenwunder des Ortswerts, bei dem die Position einer Ziffer in einer Zahl ihren Wert bestimmt. Verwenden Sie diese leistungsstarke Idee, um eine Dots-and-Box-Maschine zu erstellen, die jede arithmetische Operation in jedem Basissystem ausführen kann, einschließlich dezimaler, binärer, ternärer und sogar gebrochener Basen.

Lassen Sie Ihre Dots-and-Box-Maschine arbeiten, um Probleme mit langen Teilungen zu lösen, und machen Sie sie einfach, während Sie gleichzeitig die Gründe für den verwirrenden Algorithmus für lange Teilungen beleuchten, der in der Schule gelehrt wird. Beobachten Sie dann, wie die Maschine schnell beängstigend aussehende Teilungsprobleme in der Polynomalgebra behandelt.

Wenn es etwas im Leben gibt, das du willst, dann mach es einfach! “ Wenn Sie diesen Rat befolgen, lernen Sie, Polynomdivisionsprobleme mit negativen Termen zu lösen. Verwenden Sie Ihre neue Strategie, um unendliche Serien und Mersenne-Primzahlen zu erkunden. Berechnen Sie dann mit dem visuellen Ansatz unendliche Summen. “

Erweitern Sie den Bereich der Dezimalzahlen, indem Sie die Verbindung zwischen Dezimalzahlen und Brüchen untersuchen und sich auf Dezimalzahlen konzentrieren, die sich wiederholen. Können sie alle als Brüche ausgedrückt werden? Wenn ja, gibt es eine einfache Möglichkeit, sich wiederholende Dezimalzahlen mit der Punkt-und-Kästchen-Methode in Brüche umzuwandeln? Natürlich gibt es!

Tauchen Sie ein in irrationale Zahlen – solche, die nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen (d. h. als Brüche) ausgedrückt werden können und daher nicht wiederholen. Aber wie können wir sicher sein, dass sie sich nicht wiederholen? Beweisen Sie, dass eine berühmte irrationale Zahl, die Quadratwurzel aus zwei, unmöglich ein Bruch sein kann.

Denken Sie über eine Frage des Mathematikers Georg Cantor nach: Was macht zwei Sätze gleich groß? Beginnen Sie damit, die unendlichen Zählzahlen mit anderen unendlichen Mengen zu vergleichen und zu beweisen, dass sie die gleiche Größe haben. Dann entdecken Sie eine unendliche Menge, die unendlich größer ist als die zählenden Zahlen. Finde sogar unendlich viele davon!

Ziehen Sie die bizarren Schlussfolgerungen aus der vorherigen Vorlesung heran und erzielen Sie noch merkwürdigere Ergebnisse, indem Sie alle Brüche (d. h. rationale Zahlen) auf die Zahlengeraden abbilden und feststellen, dass sie überhaupt keinen Platz beanspruchen! Und das ist erst der Anfang der Seltsamkeit.

Wahrscheinlichkeitsprobleme können verwirrend sein, wenn Sie versuchen zu entscheiden, was multipliziert und was geteilt werden soll. Aber visuelle Modelle helfen Ihnen, eine Reihe von Rätseln mit Münzen, Würfeln, medizinischen Tests und dem Urvater der Wahrscheinlichkeitsprobleme zu lösen, die dem französischen Mathematiker Blaise Pascal im 17. Jahrhundert gestellt wurden.

Kombinatorik beschäftigt sich mit dem Zählen von Kombinationen von Dingen. Entdecken Sie, dass viele solcher Probleme in Wirklichkeit ein Problem sind: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben in einem Wort anzuordnen? Verwenden Sie diese Strategie und die faktorielle Operation, um kombinatorische Fragen zum Kinderspiel zu machen.

Spielen Sie weiter mit dem Ansatz aus der vorherigen Vorlesung, wenden Sie ihn auf Algebra-Probleme an, zählen Sie Pfade in einem Raster und das Pascal-Dreieck. Dann erkunden Sie einige der schönen Muster in Pascals Dreieck, einschließlich seiner Verbindung zu den Potenzen von elf und dem Binomialsatz.

Entdecken Sie, dass das Pascal-Dreieck das Verhalten von zufälligen Spaziergängen codiert, bei denen es sich um zufällige Schritte handelt, die für die Partikel in diffundierenden Gasen und anderen zufälligen Phänomenen charakteristisch sind. Konzentrieren Sie sich auf die Unvermeidlichkeit, zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Überlegen Sie auch, wie zufällige Spaziergänge mit dem Ruin-Theorem des Spielers verbunden sind.

Beginnen Sie mit einer Simulation namens Langtons Ameise, die einfachen Regeln folgt, die scheinbar chaotische Ergebnisse liefern. Beobachten Sie dann, wie wiederholte Falten in einem Papierstreifen zum berühmten Drachenfraktal führen. Fragen Sie auch, wie oft Sie einen Papierstreifen falten müssen, damit seine Breite dem Abstand Erde-Mond entspricht.

Erfahren Sie, wie eine Frage der Kaninchenzucht im 13. Jahrhundert zu den berühmten Fibonacci-Zahlen führte. Untersuchen Sie die Eigenschaften dieser Sequenz, indem Sie sich auf das einzelne Bild konzentrieren, das alles erklärt. Dann hören Sie die Weltpremiere von Professor Tantons erstaunlichem Fibonacci-Theorem!

Lassen Sie sich von einer Frage zu den Fibonacci-Zahlen inspirieren und untersuchen Sie die Leistung von Graphen. Experimentieren Sie zunächst mit Streudiagrammen. Dann sehen Sie, wie das Zeichnen von Daten wie das Zeichnen von Funktionen in der Algebra ist. Verwenden Sie Grafiken, um den Fixpunktsatz zu beweisen und die Fibonacci-Frage zu beantworten, mit der die Vorlesung eröffnet wurde.

Werfen Sie die quadratische Formel weg, die Sie in der Algebra-Klasse gelernt haben. Verwenden Sie stattdessen die Symmetriekraft, um quadratische Funktionen mit überraschender Leichtigkeit grafisch darzustellen. Versuchen Sie eine Reihe von zunehmend beängstigend aussehenden quadratischen Problemen. Dann sehen Sie etwas völlig Magisches, das in Lehrbüchern nicht zu finden ist.

Erfahren Sie, warum quadratische Gleichungen Quad "in ihrem Namen haben, obwohl sie nichts mit der 4. Potenz zu tun haben. Versuchen Sie dann immer anspruchsvollere Beispiele und finden Sie die Lösungen, indem Sie ein Quadrat skizzieren. Leiten Sie schließlich die quadratische Formel ab, die Sie die ganze Zeit verwendet haben, ohne es zu merken. "

Sehen Sie sich Statistiken an, um zu sehen, wie Sie mit dem Archimedes-Gesetz des Hebels Datenmittelwerte auf einem Streudiagramm berechnen können. Erfahren Sie auch, wie Sie die Methode der kleinsten Quadrate verwenden, um die Linie mit der besten Anpassung in einem Diagramm zu finden.

Bei einem direkt auf einem anderen liegenden Blatt Papier sind alle Punkte auf das untere Blatt ausgerichtet. Aber was ist, wenn das oberste Blatt zerknittert ist? Liegt einer seiner Punkte noch direkt über dem entsprechenden Punkt auf dem unteren Blatt? Sehen Sie einen wunderbaren visuellen Beweis für diesen Fixpunktsatz.

Durch wiederholtes Falten eines Blattes Papier nach einem einfachen Muster bringen Sie viele Ideen aus früheren Vorlesungen zusammen. Beenden Sie den Kurs mit einer Herausforderungsfrage, die die Faltübung als Problem beim Teilen von Gummibärchen neu interpretiert. Aber keine Panik! Dies ist ein Test, der praktisch von selbst dauert!

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